5 اصول اقلیدس.

ز هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطهدیگر کشید .(یعنی از هر دو نقطه واقع بریک صفحه یک وتنها یک خط می گذرد.) هر خطمستقیم متناهی را می توان روی همان خط بهطور نامحدود امتداد داد. می توان دایرهای با مرکز هر نقطه دلخواه و با شعاعیمساوی هرپاره خط رسم شده از مرکز آنترسیم کرد. همه زوایای قائمه با هممساویند. از هر نقطه خارج یک خط یک و فقطیک خط موازی با آن خط می توان رسم نمود.

1- از هر دو نقطه متمایز ، یک و فقط یک خطمی گذرد . 2- هر پاره خط AB را می توان بهاندازه پاره خط BE که با پاره خط CD قابلانطباق است ادامه داد . 3- به ازای هر نقطهو هر پاره خط دلخواه ، دایره ای به مرکزآن نقطه وشعاع مذکور وجود دارد . 4- همهزوایای قائمه با هم برابرند . 5- اصلتوازی : چهار اصل اول همواره مورد توافقریاضیدانان بوده اند . اما اصل توازی تاقرن 19 مورد بحث و جدل فراوان قرار گرفتهاست . تلاش برای اثبات آن و ارائهصورتهای مختلفی از آن صور ت گرفته است .که همین تلاشها باعث ایجاد و بسط هندسههای نااقلیدسی شده است . تعریف (توازی ):دو خط با هم موازی اند هرگاه همدیگر رانبرند ، یعنی نقطه ای پیدا نشود که بر هردو خط واقع باشد . اصل توازی : به ازای هرخط و هر نقطه غیر واقع برآن یک و تنها یکخط به موازات خط مذکور وجود دارد که ازنقطه مورد نظر می گذرد . اگر ما اصولهندسه را انتزاعهایی از تجربه بدانیمبلافاصله تفاوت این اصل و چهار اصل دیگرمشخص می شود . به هیچ وجه نمی توانیم بهطور تجربی تحقیق کنیم که آیا دو خطهمدیگر را می برند یا نه . معادلهای اصل 5: اگر یک خط ، دو خط موازی را قطع کند همهزوایای حاده بوجود امده باهم و همهزوایای منفرجه به وجود آمده باهم مساویاند . مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجهاست . اگر خطی یک خط موازی را ببرد دیگریرا هم می برد. هرگاه خطی بر یک خط موازیعمود شود بر دیگری نیز عمود می شود .هرگاه k و l دو خط موازی باشند و m بر k عمودباشد و n بر l عمود باشد آنگاه یا m=n یا m باn موازی است .